Последовательность и её предел

Последовательность комплексных чисел — это набор чисел \(z_1,z_2,z_3,\ldots\), в котором каждому натуральному номеру соответствует одно комплексное число. Члены последовательности могут повторяться.

Если \(z_n=x_n+iy_n\), то каждый член последовательности можно представить точкой с координатами \((x_n,y_n)\) на комплексной плоскости.

Рассмотрим последовательность

\[ z_n=(2+i)+\frac{1-i}{n}, \qquad n=1,2,\ldots \]

Её первые члены:

\[ z_1=3, \qquad z_2=\frac52+\frac12i, \qquad z_3=\frac73+\frac23i. \]

С ростом \(n\) действительная часть приближается к \(2\), а мнимая — к \(1\). Поэтому точки \(z_n\) приближаются к числу \(2+i\).

Расстояние между комплексными числами \(z_n=x_n+iy_n\) и \(z=x+iy\) измеряется модулем их разности:

\[ |z_n-z| = \sqrt{(x_n-x)^2+(y_n-y)^2}. \]

Последовательность сходится к \(z\), если для любого положительного допуска расстояние \(|z_n-z|\) остаётся меньше этого допуска при всех достаточно больших номерах \(n\).

Открытый круг радиуса \(\varepsilon\) с центром в точке \(z\) называют \(\varepsilon\)-окрестностью точки \(z\). Неравенство \(|z_n-z|<\varepsilon\) означает, что член последовательности \(z_n\) находится внутри этого круга.

Если последовательность сходится, то в любую такую окрестность начиная с некоторого номера попадут все её последующие члены.

В прикладных задачах член \(z_n\) можно рассматривать как приближение к пределу \(z\). Тогда разность \(z_n-z\) называют ошибкой приближения, а её модуль \(|z_n-z|\) — абсолютной погрешностью. Число \(\varepsilon\) задаёт допустимую величину этой погрешности.

16_09_2026_1

Как обеспечить заданную точность

Определение предела позволяет не только установить факт сходимости, но и определить, насколько большим должен быть номер члена для достижения заданной точности. Для этого условие \(|z_n-z|<\varepsilon\) решают относительно \(n\).

Пример

Для последовательности

\[ z_n=(2+i)+\frac{1-i}{n} \]

предел равен \(2+i\), а абсолютная погрешность приближения составляет

  1. Вычтем предел из приближения:

    \[ z_n-(2+i) = (2+i)+\frac{1-i}{n}-(2+i) = \frac{1-i}{n}. \]

  2. Возьмём модуль — длину этого отклонения:

    \[ \left|\frac{1-i}{n}\right| = \sqrt{\left(\frac1n\right)^2+\left(-\frac1n\right)^2} = \frac{\sqrt2}{n}. \]
\[ |z_n-(2+i)| = \left|\frac{1-i}{n}\right| = \frac{\sqrt2}{n}. \]

Например, при \(n=10\) получаем \(z_{10}=2{,}1+0{,}9i\). От предела \(2+i\) это число отличается на \(0{,}1\) по каждой координате, поэтому расстояние между ними равно \(\sqrt{0{,}1^2+(-0{,}1)^2}\approx0{,}1414\). Это и есть абсолютная погрешность замены предела конечным членом последовательности.

Чтобы погрешность была меньше \(0{,}01\), необходимо

\[ \frac{\sqrt2}{n}<0{,}01, \qquad n>100\sqrt2. \]

Следовательно, требуемая точность достигается при всех \(n\ge142\), поэтому можно выбрать \(N=142\). Чем меньше допустимая погрешность, тем больший номер потребуется. Вычислять предыдущие члены здесь не нужно: формула позволяет сразу определить номер, начиная с которого выполняется заданное условие.

Сходимость не требует, чтобы каждый следующий член обязательно находился ближе к пределу, чем предыдущий. Точки могут приближаться к пределу с разных сторон, а расстояние до него может колебаться.

Важно лишь, чтобы все достаточно поздние члены последовательности попадали в любую заданную окрестность предела.

Сходимость по координатам

Комплексная последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности её действительных и мнимых частей:

\[ z_n\to x+iy \quad\Longleftrightarrow\quad x_n\to x \;\text{и}\; y_n\to y. \]

Это следует из неравенств

\[ \max\{|x_n-x|,|y_n-y|\} \le |z_n-z| \le |x_n-x|+|y_n-y|. \]

Если расстояние между \(z_n\) и \(z\) стремится к нулю, то отклонения действительной и мнимой частей также стремятся к нулю. Верно и обратное: если обе координатные погрешности стремятся к нулю, то к нулю стремится и модуль разности.

Например, если отклонения по обеим координатам равны \(0{,}008\), то расстояние составляет

\[ \sqrt{0{,}008^2+0{,}008^2} \approx 0{,}0113. \]

Каждая координатная погрешность меньше \(0{,}01\), но абсолютная погрешность уже превышает этот допуск.

Чтобы гарантировать условие \(|z_n-z|<\varepsilon\), можно проверять абсолютную погрешность напрямую или требовать

\[ |x_n-x|<\frac{\varepsilon}{\sqrt2}, \qquad |y_n-y|<\frac{\varepsilon}{\sqrt2}. \]

Комплексный итерационный процесс

Рассмотрим процесс, в котором новое состояние вычисляется по формуле

\[ z_{n+1}=qz_n+c, \qquad n=0,1,2,\ldots \]

Здесь \(q\) и \(c\) — постоянные комплексные числа, а \(z_0\) — начальное состояние. Нулевая индексация обозначает состояние до первого обновления; смысл сходимости от выбора начального номера не меняется.

Если последовательность имеет предел \(z_*\), он должен удовлетворять равенству

\[ z_*=qz_*+c. \]

При \(q\ne1\) получаем неподвижную точку

\[ z_*=\frac{c}{1-q}. \]

Неподвижная точка — это состояние, которое формула обновления оставляет неизменным. Однако её существование ещё не доказывает, что процесс придёт к ней из другого начального состояния. Введём комплексную ошибку текущего приближения

\[ e_n=z_n-z_*. \]

Вычитая равенство \(z_*=qz_*+c\) из формулы итерации, получаем

\[ e_{n+1}=qe_n, \qquad e_n=q^ne_0. \]

Следовательно,

\[ |z_n-z_*| = |q|^n|z_0-z_*|. \]

При \(|q|<1\) модуль ошибки стремится к нулю для любого начального значения, поэтому процесс сходится к \(z_*\).

  • модуль \(q\) показывает, во сколько раз изменяется расстояние до предела за один шаг;
  • при \(q\ne0\) аргумент \(q\) задаёт поворот ненулевого вектора ошибки; при \(q=0\) процесс сразу попадает в неподвижную точку \(z_*=c\).

Пример итерационного процесса

Поворот и уменьшение ошибки

Пусть

\[ q=\frac{i}{2}, \qquad c=\frac52, \qquad z_0=3+i. \]

Неподвижная точка равна

\[ z_* = \frac{5/2}{1-i/2} = 2+i. \]

Начальная ошибка:

\[ e_0=z_0-z_*=1. \]

Поэтому

\[ z_n = (2+i)+\left(\frac{i}{2}\right)^n, \qquad |e_n|=2^{-n}. \]

На каждом шаге вектор ошибки поворачивается на \(90^\circ\) против часовой стрелки и становится вдвое короче.

После десяти обновлений ошибка меньше \(0{,}001\), поскольку

\[ 2^{-10} \approx 0{,}000977. \]
1.501.752.002.252.502.753.00Re0.751.001.251.50Im z i 0 = 3 + z i 1 = 2 + 1 . 5 z i 2 = 1 . 7 5 + z i 3 = 2 + 0 . 8 7 5 z i * = 2 + 90° | | = 1 e 0 | | = 1 / 2 e 1 Поворот и уменьшение ошибки z i i e z z e n n n n n n = ( 2 + ) + ( / 2 ) = − | | = 2 * − Цветные стрелки — векторы ошибки от предела к очередной точке.Каждый шаг: поворот на 90° против часовой стрелки и уменьшение длины вдвое.Пунктир соединяет итерации по порядку; непрерывного движения между ними нет.

Когда можно остановить расчёт

В этом простом примере неподвижную точку можно вычислить напрямую, поэтому известна и абсолютная погрешность \(|z_n-z_*|\). В более сложных задачах точный предел часто неизвестен, и непосредственно вычислить эту величину нельзя. Поэтому программа нередко проверяет изменение между соседними итерациями — величину шага:

\[ |z_{n+1}-z_n|. \]

Шаг итерации и погрешность приближения — разные величины. Малый шаг сам по себе не гарантирует, что текущее значение находится близко к пределу.

Для процесса \(z_{n+1}=qz_n+c\) связь между шагом и абсолютной погрешностью можно получить точно:

\[ z_{n+1}-z_n = (q-1)(z_n-z_*). \]

Следовательно, при \(q\ne1\)

\[ |z_n-z_*| = \frac{|z_{n+1}-z_n|}{|1-q|}. \]

Например, при \(q=0{,}99\) абсолютная погрешность в сто раз больше шага. Изменение на \(10^{-6}\) соответствует погрешности \(10^{-4}\).

Чтобы гарантировать условие \(|z_n-z_*|<\varepsilon\), необходимо требовать

\[ |z_{n+1}-z_n| < |1-q|\varepsilon. \]

Ограниченность и сходимость

Последовательность называется ограниченной, если существует число \(M>0\), такое что

\[ |z_n|<M \]

для всех номеров \(n\). Геометрически это означает, что все точки последовательности находятся внутри некоторого круга с центром в начале координат.


Любая сходящаяся последовательность ограничена. Действительно, все достаточно поздние члены находятся, например, на расстоянии меньше единицы от предела. Оставшихся членов конечное число, поэтому для них также можно выбрать общий достаточно большой радиус.

Обратное утверждение неверно. Рассмотрим последовательность

\[ z_n=i^n. \]

Она циклически проходит через четыре точки:

\[ 1,\qquad i,\qquad -1,\qquad -i. \]

Модуль каждого её члена равен единице, поэтому последовательность ограничена. Но предела у неё нет: члены \(z_{4k}=1\) и \(z_{4k+2}=-1\), где \(k=1,2,\ldots\), остаются в разных точках при сколь угодно больших номерах. Они не могут одновременно приближаться к одному числу.

Что нужно запомнить

  • Сходимость означает, что расстояние до одного определённого комплексного числа стремится к нулю.
  • Комплексная последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся её действительная и мнимая части.
  • При проверке точности нужно учитывать абсолютную погрешность, а не только отклонения отдельных координат.
  • Наличие неподвижной точки итерационного процесса ещё не доказывает сходимость к ней.
  • Малый шаг между итерациями является надёжным критерием остановки только тогда, когда известна его связь с погрешностью.
  • Каждая сходящаяся последовательность ограничена, но не каждая ограниченная последовательность сходится.