Что значит извлечь корень из комплексного числа

Для вещественных чисел извлечение корня обычно не вызывает вопросов: например, \( \sqrt{9}=3 \). В комплексной плоскости одна и та же операция чаще даёт несколько результатов.

Комплексное число \(w\) называется корнем \(n\)-й степени из числа \(z\), если выполняется равенство

\[ w^n=z. \]

Например, уравнение \(w^2=1\) имеет два решения: \(w=1\) и \(w=-1\). В общем случае ненулевое комплексное число имеет ровно \(n\) различных корней \(n\)-й степени.

Общая формула

Пусть ненулевое комплексное число записано в показательной форме:

\[ z=\rho e^{i\varphi}, \qquad \rho=|z|. \]

Ищем корень в таком же виде:

\[ w=re^{i\theta}. \]

Тогда

\[ w^n=r^n e^{in\theta}. \]

Из условия \(w^n=z\) следуют два равенства:

\[ r^n=\rho, \qquad n\theta=\varphi+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Поэтому модуль каждого корня равен \( \sqrt[n]{\rho} \), а его аргумент имеет вид

\[ \theta_k=\frac{\varphi+2\pi k}{n}. \]

Все корни \(n\)-й степени из \(z\) задаются формулой

\[ w_k= \sqrt[n]{\rho}\, e^{\,i\frac{\varphi+2\pi k}{n}}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1. \]

В тригонометрической форме:

\[ w_k= \sqrt[n]{\rho} \left( \cos\frac{\varphi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n} \right). \]

Почему достаточно значений от \(0\) до \(n-1\)

В формуле присутствует любое целое число \(k\), однако новых корней после \(k=n-1\) не появляется. Действительно,

\[ \theta_{k+n} = \frac{\varphi+2\pi(k+n)}{n} = \theta_k+2\pi. \]

Аргументы, отличающиеся на \(2\pi\), задают одну и ту же точку комплексной плоскости, поскольку \(e^{i(\theta+2\pi)}=e^{i\theta}\). Поэтому значения начинают повторяться.

Геометрический смысл

Все найденные корни имеют одинаковый модуль:

\[ |w_k|=\sqrt[n]{\rho}. \]

Следовательно, они лежат на одной окружности с центром в начале координат. Аргументы соседних корней отличаются на

\[ \theta_{k+1}-\theta_k=\frac{2\pi}{n}. \]

Значит, корни расположены равномерно по окружности и образуют вершины правильного \(n\)-угольника:

  • два корня лежат на противоположных концах диаметра;
  • три корня образуют равносторонний треугольник;
  • четыре корня образуют квадрат;
  • пять корней образуют правильный пятиугольник.

Пример: квадратные корни из \(i\)

Пример

Представим число \(i\) в показательной форме:

\[ i=e^{i\pi/2}. \]

Здесь \(\rho=1\), \(\varphi=\frac{\pi}{2}\), \(n=2\). Подставляем эти значения в общую формулу:

\[ w_k=e^{\,i\frac{\pi/2+2\pi k}{2}}, \qquad k=0,1. \]

При \(k=0\):

\[ w_0=e^{i\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt2}. \]

При \(k=1\):

\[ w_1=e^{i5\pi/4} = -\frac{1+i}{\sqrt2}. \]

Итак, решения уравнения \(w^2=i\) равны

\[ \left\{ \frac{1+i}{\sqrt2}, -\frac{1+i}{\sqrt2} \right\}. \]

Корни из единицы

Особый и очень важный случай — решения уравнения

\[ z^n=1. \]

Так как \(1=e^{i2\pi m}\), где \(m\in\mathbb Z\), все корни из единицы имеют вид

\[ z_k=e^{i\frac{2\pi k}{n}}, \qquad k=0,\ldots,n-1. \]

Они расположены на единичной окружности. Например, корни четвёртой степени из единицы:

\[ 1,\qquad i,\qquad -1,\qquad -i. \]

Пример: \(\sqrt{1-i\sqrt3}\)

Пример

Пусть

\[ z=1-i\sqrt3. \]

Найдём модуль:

\[ |z| = \sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2} = 2. \]

Аргумент числа равен \(-\frac{\pi}{3}\), поэтому

\[ z=2e^{-i\pi/3}. \]

Для квадратного корня получаем

\[ w_k= \sqrt2\, e^{\,i\frac{-\pi/3+2\pi k}{2}}, \qquad k=0,1. \]

Первый корень:

\[ w_0= \sqrt2\,e^{-i\pi/6} = \frac{\sqrt3-i}{\sqrt2}. \]

Второй корень противоположен первому:

\[ w_1= -\frac{\sqrt3-i}{\sqrt2}. \]

Алгоритм нахождения корней

  1. Представить число в виде \(z=a+bi\).
  2. Найти модуль \( \rho=\sqrt{a^2+b^2} \).
  3. Найти аргумент \( \varphi=\arg z \).
  4. Записать число в форме \(z=\rho e^{i\varphi}\).
  5. Вычислить \( \sqrt[n]{\rho} \).
  6. Подставить \(k=0,1,\ldots,n-1\) в формулу корней.
\[ \sqrt[n]{\rho e^{i\varphi}} = \left\{ \sqrt[n]{\rho}\, e^{\,i\frac{\varphi+2\pi k}{n}} \;\middle|\; k=0,\ldots,n-1 \right\}. \]