Оглавление

  1. Комплексная плоскость
  2. Модуль: длина вектора
  3. Аргумент: направление вектора
  4. Тригонометрическая форма комплексного числа
  5. Сложение комплексных чисел как сложение векторов
  6. Разность и расстояние между точками
  7. Умножение: растяжение и поворот
  8. Деление: уменьшение и поворот в обратную сторону
  9. Итог

Комплексные числа удобно не только вычислять, но и представлять на плоскости. Такой взгляд превращает формулы в наглядные действия: сложение становится сложением векторов, модуль — расстоянием, а умножение — поворотом и растяжением.

Главная идея: комплексное число \(z=a+bi\) можно одновременно рассматривать как число, точку \((a,b)\) и вектор, проведённый из начала координат к этой точке.

Комплексная плоскость

Пусть дано комплексное число:

\[ z=a+bi. \]
Complex_plane

Число \(a\) называют действительной частью числа \(z\), а \(b\) — мнимой:

\[ \operatorname{Re}z=a,\qquad \operatorname{Im}z=b. \]

На комплексной плоскости по горизонтальной оси откладывают действительную часть, а по вертикальной — мнимую. Поэтому числу \(z=a+bi\) соответствует точка с координатами \((a,b)\).

Пример

Числу \(z=3+2i\) соответствует точка \((3,2)\): от начала координат нужно пройти на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Эту же точку можно описать как конец вектора, начинающегося в точке \((0,0)\). Поэтому комплексные числа естественно связываются с векторами на плоскости.

Модуль: длина вектора

Модулем комплексного числа называют расстояние от соответствующей точки до начала координат. Он обозначается так: \(|z|\).

\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Формула получается из теоремы Пифагора: действительная и мнимая части образуют катеты прямоугольного треугольника.

Пример

Для числа \(z=-3+4i\):

\[ |z|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5. \]

Хотя точка лежит левее начала координат, расстояние до него всё равно равно 5.

Модуль не может быть отрицательным. Кроме того, \(|z|=0\) только для числа \(z=0\).

Аргумент: направление вектора

Одной длины недостаточно, чтобы однозначно задать вектор: важно знать ещё и его направление. Аргументом комплексного числа называют угол между положительным направлением действительной оси и вектором числа.

\[ \varphi=\arg z. \]

Положительным считают направление против часовой стрелки. Один и тот же луч можно получить, если к углу прибавить полный оборот:

\[ \arg z=\varphi+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Часто используют главный аргумент — одно выбранное значение угла в промежутке \((-\pi,\pi]\). Его обозначают \(\operatorname{Arg}z\).

Важно: аргумент нулевого числа не определён. У точки \((0,0)\) нет направления.

Примеры аргументов

  • для \(z=1+i\): \(\operatorname{Arg}z=\frac{\pi}{4}\);
  • для \(z=-1+i\): \(\operatorname{Arg}z=\frac{3\pi}{4}\);
  • для \(z=-1-i\): \(\operatorname{Arg}z=-\frac{3\pi}{4}\).

При вычислении аргумента важно учитывать четверть, в которой лежит точка. Формула \(\tan\varphi=\frac{b}{a}\) даёт только отношение, но не всегда сразу показывает правильный угол.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если известны модуль \(\rho=|z|\) и аргумент \(\varphi\), число можно записать в тригонометрической форме:

\[ z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi). \]

Эта запись особенно удобна для умножения, деления и возведения комплексных чисел в степень.

Пример: число \(1+i\)

Его модуль равен:

\[ |1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. \]

Аргумент равен \(\frac{\pi}{4}\), поэтому:

\[ 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right). \]

Используя формулу Эйлера \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\), эту же запись можно сделать ещё компактнее:

\[ z=\rho e^{i\varphi}. \]

Сложение комплексных чисел как сложение векторов

Сложение комплексных чисел как векторов
Геометрическая интерпретация суммы комплексных чисел.

Сумма комплексных чисел находится по привычному правилу:

\[ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. \]

Геометрически это сложение векторов. Второй вектор можно мысленно перенести в конец первого, а вектор суммы провести из начала координат в конечную точку.

Пример

Пусть \(z_1=2+i\), а \(z_2=1+3i\). Тогда:

\[ z_1+z_2=(2+i)+(1+3i)=3+4i. \]

На плоскости вектор суммы заканчивается в точке \((3,4)\).

Из геометрии сразу следует неравенство треугольника:

\[ |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|. \]

Длина результирующего вектора не превосходит суммы длин двух исходных векторов.

Разность и расстояние между точками

Модуль разности двух комплексных чисел имеет простой геометрический смысл:

\[ |z_1-z_2| \]

— это расстояние между точками, соответствующими числам \(z_1\) и \(z_2\).

Пример

Пусть \(z_1=1+2i\) и \(z_2=4+6i\). Тогда:

\[ |z_1-z_2|=|(1+2i)-(4+6i)|=|-3-4i|=5. \]

Значит, расстояние между точками \((1,2)\) и \((4,6)\) равно 5.

Ещё одно полезное неравенство:

\[ |z_1-z_2|\geq \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|. \]

Оно говорит, что расстояние между концами двух векторов не может быть меньше разности их длин.

Умножение: растяжение и поворот

В алгебраической форме комплексные числа умножают, раскрывая скобки и используя равенство \(i^2=-1\). Но геометрический смысл умножения особенно хорошо виден в тригонометрической форме.

Если:

\[ z_1=\rho_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1), \qquad z_2=\rho_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2), \]

то:

\[ z_1z_2= \rho_1\rho_2 \left( \cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2) \right). \]

То есть при умножении:

  • модули перемножаются;
  • аргументы складываются.

Иначе говоря, умножение на комплексное число одновременно меняет длину вектора и поворачивает его.

Особый случай: умножение на \(i\)

Число \(i\) имеет модуль 1 и аргумент \(\frac{\pi}{2}\). Поэтому умножение любого комплексного числа на \(i\) поворачивает его вектор на \(90^\circ\) против часовой стрелки.

\[ 1\cdot i=i,\qquad i\cdot i=-1. \]

Деление: уменьшение и поворот в обратную сторону

Для деления действует похожее правило. Если \(z_2\neq 0\), то:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \left( \cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2) \right). \]

При делении модули делятся, а аргумент делителя вычитается. Геометрически это означает изменение масштаба и поворот в противоположную сторону.

Итог

Геометрическая интерпретация делает комплексные числа наглядными. Действительная и мнимая части задают координаты точки, модуль показывает расстояние до начала координат, а аргумент — направление вектора.

Такой подход помогает видеть за формулами простые геометрические действия: сложение векторов, измерение расстояний, повороты и растяжения. Это станет особенно полезно при изучении формулы Муавра, комплексных корней и преобразований на плоскости.