Оглавление

  1. Зачем нужны комплексные числа
  2. Алгебраическая форма и равенство чисел
  3. Действительные и чисто мнимые числа
  4. Степени мнимой единицы
  5. Сложение и вычитание
  6. Умножение и сопряжение
  7. Деление
  8. Комплексное число как пара чисел

Зачем нужны комплексные числа

Рассмотрим уравнение:

\[ x^2+1=0. \]

После переноса единицы получаем:

\[ x^2=-1. \]

В множестве действительных чисел решений нет: квадрат любого действительного числа неотрицателен.

\[ x^2\geq0, \qquad x\in\mathbb R. \]

Чтобы решать такие уравнения, вводят мнимую единицу \(i\), для которой по определению выполняется:

\[ \boxed{i^2=-1}. \]

Теперь уравнение \(x^2=-1\) имеет два решения:

\[ x=i, \qquad x=-i. \]

Поэтому над комплексными числами можно разложить выражение:

\[ x^2+1=(x-i)(x+i). \]

Алгебраическая форма и равенство чисел

Любое комплексное число записывается в виде:

\[ \boxed{z=x+iy}, \qquad x,y\in\mathbb R. \]

Число \(x\) называют действительной частью, а число \(y\) - мнимой частью комплексного числа:

\[ x=\operatorname{Re}z, \qquad y=\operatorname{Im}z. \]

Значит, можно также записать:

\[ z=\operatorname{Re}z+i\operatorname{Im}z. \]

Пример

Для числа \(z=3-2i\):

\[ \operatorname{Re}z=3, \qquad \operatorname{Im}z=-2. \]

Представление \(z=x+iy\) единственно. Поэтому два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части:

\[ \boxed{ z_1=z_2 \iff \begin{cases} \operatorname{Re}z_1=\operatorname{Re}z_2,\\ \operatorname{Im}z_1=\operatorname{Im}z_2. \end{cases} } \]

Пример

\[ x+iy=3-2i \]

означает, что

\[ x=3, \qquad y=-2. \]

Действительные и чисто мнимые числа

Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число является действительным:

\[ y=0, \qquad z=x+i0=x. \]

Например:

\[ 5=5+0i. \]

Следовательно, действительные числа входят в множество комплексных:

\[ \boxed{\mathbb R\subset\mathbb C}. \]

Если действительная часть равна нулю, а мнимая не равна нулю, число называют чисто мнимым:

\[ x=0, \qquad y\ne0, \qquad z=iy. \]

Например, число \(-3i\) - чисто мнимое.

Ноль имеет обе части равными нулю:

\[ 0=0+0i. \]

Степени мнимой единицы

Из определения \(i^2=-1\) получаем:

\[ i^0=1, \qquad i^1=i, \qquad i^2=-1, \qquad i^3=-i, \qquad i^4=1. \]

Далее значения повторяются с периодом четыре:

\[ \boxed{1\longrightarrow i\longrightarrow-1\longrightarrow-i\longrightarrow1} \]
\[ \boxed{i^{n+4}=i^n}, \qquad n\in\mathbb N_0. \]

Чтобы вычислить большую степень \(i\), достаточно найти остаток показателя при делении на \(4\).

Пример

\[ 2026=4\cdot506+2. \]

Поэтому:

\[ \boxed{i^{2026}=i^2=-1}. \]

Сложение и вычитание

Пусть:

\[ z_1=x_1+iy_1, \qquad z_2=x_2+iy_2. \]

При сложении и вычитании отдельно работают с действительными и мнимыми частями:

\[ \boxed{ z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) }. \]
\[ \boxed{ z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2) }. \]

Сложение

\[ (1+2i)+(3-i) =(1+3)+(2i-i) =\boxed{4+i}. \]

Вычитание

\[ (4+3i)-(1+5i) =(4-1)+i(3-5) =\boxed{3-2i}. \]

Умножение и сопряжение

Чтобы умножить комплексные числа, раскройте скобки по обычным правилам алгебры и затем используйте \(i^2=-1\):

\[ (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2+ix_1y_2+ix_2y_1+i^2y_1y_2. \]
\[ \boxed{ (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1) }. \]

Пример

\[ (1+i)(2-i) = 2-i+2i-i^2 = \boxed{3+i}. \]

Для числа \(z=x+iy\) сопряжённым называют число, в котором меняется знак мнимой части:

\[ \boxed{\overline{z}=x-iy}. \]

Примеры

\[ \overline{1+i}=1-i, \qquad \overline{3-2i}=3+2i. \]

Сопряжение обладает важными свойствами:

\[ \overline{\overline{z}}=z, \qquad z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z, \qquad z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}z. \]
\[ \boxed{ z\overline{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2+y^2 }. \]

Произведение \(z\overline{z}\) всегда является действительным неотрицательным числом. Это свойство понадобится при делении.

Деление

Рассмотрим частное:

\[ \frac{z_1}{z_2}, \qquad z_2\ne0. \]

Чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, числитель и знаменатель домножают на число, сопряжённое знаменателю:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}} {z_2\overline{z_2}}. \]

Если \(z_2=x_2+iy_2\), то:

\[ z_2\overline{z_2}=x_2^2+y_2^2>0, \]

поскольку \(z_2\ne0\). Поэтому знаменатель становится действительным:

\[ \boxed{ \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} }. \]

Пример

\[ \frac{1+i}{1-i} \cdot \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}. \]
\[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i, \qquad (1-i)(1+i)=1-i^2=2. \]
\[ \boxed{ \frac{1+i}{1-i}=i }. \]

Комплексное число как пара чисел

Комплексному числу \(z=x+iy\) соответствует упорядоченная пара действительных чисел \((x,y)\):

\[ \boxed{ z=x+iy \longleftrightarrow (x,y) }. \]

Первая координата - действительная часть, вторая - мнимая. Например:

\[ 1+i \longleftrightarrow (1,1), \qquad 3-2i \longleftrightarrow (3,-2). \]

Именно поэтому равенство комплексных чисел проверяют сравнением их действительных и мнимых частей.

Кратко

  • Алгебраическая форма удобна для вычислений.
  • Сложение и вычитание выполняются по частям.
  • При умножении нужно использовать \(i^2=-1\).
  • При делении помогает число, сопряжённое знаменателю.
  • Пара \((x,y)\) подводит к геометрическому представлению числа.

Следующая тема

Комплексная плоскость, модуль и аргумент

Далее можно перейти от записи \(z=x+iy\) к точке \((x,y)\) на комплексной плоскости, изучить модуль числа и его аргумент.